收斂數列一定有界嗎

收斂數列一定是有界的，收斂的數列{xn}，在n→∞時，xn→A，這個A是一個固定的極限值，是一個常數，所以必然有界。但這個有界不是説上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

有界的數列不一定收斂，最簡單的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它們都是有界數列，但n→∞時，xn的極限不存在，所以不收斂。也就是説前面有限個(1到N)當然有界，後面無窮多個(N+1開始)被極限控制住。