兩個矩陣合同的充要條件

二次型用的矩陣是實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。相似矩陣與合同矩陣的秩都相同。設M是n階實係數對稱矩陣，如果對任何一非零實向量X，都使二次型f(X)=X′MX>0，則稱f(X)為正定二次型，f(X)的矩陣M稱為正定矩陣。一種實對稱矩陣。正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩陣A(=A′)稱為正定矩陣。判定定理1：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的特徵值全為正。　判定定理2：對稱陣A為正定的充分必要條件是：A的各階順序主子式都為正。判定定理3：任意陣A為正定的充分必要條件是：A合同於單位陣。